Question

15．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁C=CA=AB=a，AA₁=$\sqrt{2}$a，AB⊥AC，D为AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB₁A_l
（Ⅱ）在侧棱BB₁上确定一点E，使得二面角E-A₁C₁一A的大小为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；
（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA₁分别为x、z轴建立坐标系，则平面A₁C₁A的一个法向量与平面EA₁C₁的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值为$cos\frac{π}{3}$，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A₁ACC₁∩底面ABC=AC，
∴AB⊥平面A₁ACC₁，
又CD?平面A₁ACC₁，∴CD⊥AB，
又∵AC=A₁C，D为AA₁的中点，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）解：已知A₁C⊥平面ABC，如图所示，
以点C为原点，以CA、CA₁分别为x、z轴建立坐标系，
则有A（a，0，0），B（a，a，0），A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），C₁（-a，0，a），
设$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1-λ）a，a，λa）．
由题意得平面A₁C₁A的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设平面EA₁C₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-a，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（（1-λ）a，a，（λ-1）a），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-ax=0}\\{（1-λ）ax+ay+（λ-1）az=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则有$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{1}{1-λ}$），
∴$cos\frac{π}{3}$=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{1}{1×\sqrt{1+（\frac{1}{1-λ}）^{2}}}$，解得λ=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴当$\overrightarrow{BE}$=（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）$\overrightarrow{B{B}_{1}}$时，二面角E-A₁C₁一A的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．