Question

5．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．
（1）求证：AF⊥平面SBC；
（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角G-AF-E的大小为30°？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过证明AF与平面SBC内的两条相交直线垂直即可；
（2）抓住两点找到问题的求解方向：一是点G的预设位置，二是二面角G-AF-E的位置，计算即可．

解答 （1）证明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得$AE=\sqrt{2}$．
因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE． 
在Rt△SAE中，$SE=\sqrt{6}$，所以$EF=\frac{1}{3}SE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
因此AE²=EF•SE，又因为∠AEF=∠AES，
所以△EFA∽△EAS，
则∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE． 
因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，
所以BC⊥底面SAE，则BC⊥AF．
又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC． 
（2）结论：在线段上DE上存在点G使二面角G-AF-E的大小为30°，此时DG=$\frac{1}{2}$．
理由如下：
假设满足条件的点G存在，并设DG=t．
过点G作GM⊥AE交AE于点M，
又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．
作MN⊥AF交AF于点N，连结NG，则AF⊥NG．
于是∠GNM为二面角G-AF-E的平面角，
即∠GNM=30°，由此可得$MG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1-x）$．   
由MN∥EF，得$\frac{MN}{EF}=\frac{AM}{AE}$，
于是有$\frac{MN}{{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1+t）}}{{\sqrt{2}}}$，$MN=\frac{{\sqrt{6}}}{6}（1+t）$．
在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，
即$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1-t）=\frac{{\sqrt{6}}}{6}（1+t）•\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得$t=\frac{1}{2}$．
于是满足条件的点G存在，且$DG=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．