Question

20．设锐角三角形ABC的三边长分别a、b、c，求证：acosA+bcosB+ccosC≤$\frac{1}{2}$（a+b+c）

Answer 1

分析 △ABC是锐角三角形，可得acosB+bcosA=c，先证明acosA+bcosB≤acosB+bcosA，不妨设a≥b，则$\frac{π}{2}＞A≥B＞0$，可得0＜cosA≤cosB＜1，可得acosA+bcosB-（acosB+bcosA）=（cosA-cosB）（a-b）≤0，即可证明．

解答 证明：∵△ABC是锐角三角形，
∴acosB+bcosA=c，
先证明acosA+bcosB≤acosB+bcosA，
不妨是a≥b，则$\frac{π}{2}＞A≥B＞0$，
∴0＜cosA≤cosB＜1，
∴acosA+bcosB-（acosB+bcosA）=（cosA-cosB）（a-b）≤0，
∴acosA+bcosB≤acosB+bcosA=c，
同理可得：bcosB+ccosC≤a，
acosA+ccosC≤b．
∴acosA+bcosB+ccosC≤$\frac{1}{2}$（a+b+c）．

点评 本题考查了锐角三角形的性质、余弦函数的单调性、不等式的性质，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．