Question

1．求实数m的范围，使关于x的方程x²+2（m-1）x+2m+6=0．
（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小．
（2）有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β＜4．
（3）至少有一个正根．

Answer 1

分析 （1）由题意知4+4（m-1）+2m+6＜0，从而解得；
（2）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{2m+6＞0}\\{1+2（m-1）+2m+6＜0}\\{16+8（m-1）+2m+6＞0}\end{array}\right.$，从而解得；
（3）由题意得△=[2（m-1）]²-4（2m+6）≥0，再根据对称轴及根与系数的关系确定根的位置即可．

解答 解：（1）由题意知，
4+4（m-1）+2m+6＜0，
解得，m＜-1；
（2）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{2m+6＞0}\\{1+2（m-1）+2m+6＜0}\\{16+8（m-1）+2m+6＞0}\end{array}\right.$，
解得，-1.4＜m＜-$\frac{5}{4}$，
（3）由题意得，
△=[2（m-1）]²-4（2m+6）≥0，
解得，m≤-1或m≥5；
当m≤-1时，1-m≥2＞0，
方程一定有一正根；
当m≥5时，1-m≤-4，
又∵2m+6＞0，
∴方程x²+2（m-1）x+2m+6=0的两根都是负根；
综上所述，m≤-1．

点评 本题考查了二次方程的根的个数及位置的判断，属于基础题．