Question

5．已知f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$．
（1）求f（x）单调区间；
（2）证明：$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{2e}$（n≥2，n∈N₊）．

Answer 1

分析 （1）直接求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；
（2）由（1）求出原函数的极大值，也就是最大值，把不等式放缩即可证得答案．

解答 （1）解：由f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，得${f}^{′}（x）=\frac{x-2xlnx}{{x}^{4}}=\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
由f′（x）=0，得$x={e}^{\frac{1}{2}}$，
当x∈（0，${e}^{\frac{1}{2}}$）时，f′（x）＞0；当x∈（${e}^{\frac{1}{2}}，+∞$），f′（x）＜0．
∴f（x）的增区间为（0，${e}^{\frac{1}{2}}$）；减区间为（${e}^{\frac{1}{2}}，+∞$）．
（2）证明：由（1）知，当x=${e}^{\frac{1}{2}}$时函数取得极大值，极大值为$\frac{ln{e}^{\frac{1}{2}}}{（{e}^{\frac{1}{2}}）^{2}}=\frac{1}{2e}$．
∴$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{2e}+\frac{1}{2e}+…+\frac{1}{2e}=\frac{n-1}{2e}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中高档题．