Question

15．已知函数f（x）=cos²x，g（x）=$\frac{1}{2}+\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）若直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求g（2a）的值；
（2）若0≤x≤$\frac{π}{2}$，求h（x）=f（x）+g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简函数的表达式，通过直线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，求出a，然后求g（2a）的值；
（2）化简h（x）=f（x）+g（x）为正弦函数类型，利用角的范围求出相位的范围，然后去函数值域．

解答 解：（1）$f（x）={cos^2}x=\frac{1+cos2x}{2}$，
其对称轴为$2x=kπ，x=\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
因为直线线x=a是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，
所以$a=\frac{kπ}{2}，k∈Z$，
又因为$g（x）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$，所以$g（{2a}）=g（{kπ}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（{2kπ}）=\frac{1}{2}$
即$g（{2a}）=\frac{1}{2}$．
（2）由（1）得
$\begin{array}{c}h（x）=f（x）+g（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+1\end{array}\right.$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+1$
∵$x∈[{0，\frac{1}{2}}]$，
∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]，sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{6}）+1∈[\frac{1}{2}，2]$．
所以h（x）的值域为$[{\frac{1}{2}，2}]$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，对称性的应用，三角函数的最值求法，考查计算能力．