Question

6．已知函数f（x）=4cosxsin（x+φ）-1（0＜φ＜π），若f（$\frac{π}{3}$）=1，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． π
• B． $\frac{3π}{2}$
• C． 2π
• D． 4π

Answer 1

分析 由条件求得sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，φ=$\frac{π}{6}$，再利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1，再根据y=Asin（ωx+φ）的周期等于$\frac{2π}{ω}$，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=4cosxsin（x+φ）-1，f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+φ）-1=1，
∴sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1．
由0＜φ＜π可得 $\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+φ＜π+$\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-1=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-1=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-1
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-1，
则f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）的周期等于 T=$\frac{2π}{ω}$，属于中档题．