Question

14．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，S_n=2a_n+n（n∈N^*），则f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 先由函数f（x）是奇函数，f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a₁=-1，且S_n=2a_n+n，推知a₅=-31，a₆=-63计算即可．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
∴f（$\frac{3}{2}$-x）=-f（-x），
∴f（$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$-x）=-f（$\frac{3}{2}$-x）=f（x），
∴f（3+x）=f（x）
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{a_n}满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，∴S_n-1=2a_n-1+n-1，∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，
即a_n=2a_n-1-1，a_n-1=2（a_n-1-1），{a_n-1}以-2为首项，2为公比的等比数列．
a_n=1-2ⁿ．
∴a₅=-31，a₆=-63
∴f（a₅）+f（a₆）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故答案为：3．

点评 本题主要考查函数性质的转化与应用以及数列的通项及求和公式，在函数性质综合应用中相互结合转化中奇偶性，对称性和周期性之间是一个重点．