Question

8．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）求直线BE与平面ABB₁A₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使得BF₁∥平面A₁BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先取AA₁的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB₁A₁，则EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，BM=$\sqrt{5}$，于是在Rt△BEM中，用反正切表示出∠MBE即可．
（2）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A₁B，从而说明A₁，B，G，E共面，则BG?面A₁BE，根据FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，从而得到四边形B₁BGF为平行四边形，则B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，根据线面平行的判定定理可知B₁F∥平面A₁BE．

解答 解：（1）如图（a），取AA₁的中点M，连接EM，BM，因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₁为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}$=3，BM=$\sqrt{{3}^{2}{-2}^{2}}$=$\sqrt{5}$
于是在Rt△BEM中，tan∠EBM=$\frac{ME}{BM}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即直线BE与平面ABB₁A₁所成的角是$arctan\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（2）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，
因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，
因此D₁C∥A₁B，又E，G分别为D₁D，CD的中点，所以EG∥D₁C，从而EG∥A₁B，这说明A₁，B，G，E共面，所以BG?平面A₁BE
因四边形C₁CDD₁与B₁BCC₁皆为正方形，F，G分别为C₁D₁和CD的中点，所以FG∥C₁C∥B₁B，且FG=C₁C=B₁B，因此四边形B₁BGF为平行四边形，所以B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．

点评 本题考查直线与平面所成的角，直线与平面平行，考查考生探究能力、空间想象能力，属于中档题．