Question

19．已知对任意n∈N^*，向量$\overrightarrow{d_n}=（{{a_{n+1}}-\frac{1}{4}{a_n}\;，\;\frac{{a_{n+1}^2}}{a_n}}）$都是直线y=x的方向向量，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，则$\lim_{n→∞}{S_n}$=2．

Answer 1

分析 先判断数列{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，再利用无穷等比数列的求和公式即可求出$\lim_{n→∞}{S_n}$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{d_n}=（{{a_{n+1}}-\frac{1}{4}{a_n}\;，\;\frac{{a_{n+1}^2}}{a_n}}）$都是直线y=x的方向向量，
∴a_n+1-$\frac{1}{4}$a_n=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
∵a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\lim_{n→∞}{S_n}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2．
故答案为：2

点评 本题考查数列的极限的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列运算公式的灵活运用．