Question

4．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\sqrt{a_n^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N^*}）$，则使不等式a₂₀₁₅＞2015成立的所有正整数a₁的集合为{a₁|a₁≥2015，且${a}_{1}∈{N}^{*}$}．

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列{$（{a}_{n}-1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后由a₂₀₁₅＞2015列式求出所有正整数a₁的集合．

解答 解：由a_n+1=$\sqrt{a_n^2-2{a_n}+2}+1（n∈{N^*}）$，得（a_n+1-1）²=a_n²-2a_n+2，
即$（{a}_{n+1}-1）^{2}=（{a}_{n}-1）^{2}+1$，
则数列{$（{a}_{n}-1）^{2}$}是以$（{a}_{1}-1）^{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$（{a}_{n}-1）^{2}=（{a}_{1}-1）^{2}+n-1$，
则${a}_{n}-1=±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
即${a}_{n}=1±\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
取${a}_{n}=1+\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+n-1}$，
由a₂₀₁₅＞2015，得1+$\sqrt{（{a}_{1}-1）^{2}+2014}$＞2015，
即$（{a}_{1}-1）^{2}$＞2014×2013，
∵a₁是正整数，∴a₁≥2015．
故答案为：{a₁|a₁≥2015，且${a}_{1}∈{N}^{*}$}．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了不等式的解法，是中档题．