Question

17．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，其中n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）是否存在实数λ，使得数列{λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知的数列递推式结合等差数列的性质，证明b_n+1-b_n为一个常数即可；
（2）由（1）求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式，由数列{λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，借助于等差中项的概念列式，推出满足2（λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=λa_n-1+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+λa_n+1+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$恒成立的λ不存在，即可说明不存在实数λ，使得数列{λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列．

解答 （1）证明：∵a_n+1=1-$\frac{1}{4{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，
∴${b}_{n+1}-{b}_{n}=\frac{1}{2{a}_{n+1}-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}$
=$\frac{1}{2（1-\frac{1}{4{a}_{n}}）-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}-1}-\frac{1}{2{a}_{n}-1}=\frac{2{a}_{n}-1}{2{a}_{n}-1}=1$．
又a₁=1，∴${b}_{1}=\frac{1}{2{a}_{1}-1}=1$，
则数列{b_n}为首项是1，公差是1的等差数列；
（2）解：由数列{b_n}为首项是1，公差是1的等差数列，得b_n=1+（n-1）×1=n，
∴n=$\frac{1}{2{a}_{n}-1}$，即${a}_{n}=\frac{n+1}{2n}$，
若存在实数λ，使得数列{λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，
则2（λa_n+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=λa_n-1+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+λa_n+1+$\frac{1}{{b}_{n+1}}$恒成立，
∴$2λ•\frac{n+1}{2n}+\frac{2}{n}=\frac{λn}{2（n-1）}+\frac{1}{n-1}+\frac{λ（n+2）}{2（n+1）}+\frac{1}{n+1}$恒成立，
整理得：$\frac{λ{n}^{2}+λn+4}{2n（{n}^{2}-1）}=0$恒成立．
满足此时恒成立的λ不存在．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了判断数列为等差数列的条件，是中档题．