Question

5．已知函数f（x）=ax（1-lnx）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞1-e^x-（a-1）xlnx恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先对原函数求导，然后在定义域内解导数大于或小于0对应的不等式，注意对a进行讨论；
（2）先将给的不等式化简归零，这是一个不等式恒成立问题，所以构造函数，然后将问题转化为函数的最值问题来解．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=-alnx．
当a=0时，f′（x）=0恒成立，显然原函数不具有单调性；
当a＜0时，由f′（x）＜0得，0＜x＜1，由f′（x）＞0得x＞1，
故此时原函数在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；
同理可得当a＞0时，原函数在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
（2）由题意f（x）＞1-e^x-（a-1）xlnx，（x＞0）可化为：
ax＞xlnx-e^x+1，因为x＞0，
所以$a＞lnx+\frac{1}{x}-\frac{{e}^{x}}{x}$，当x＞0时恒成立．
令g（x）=$lnx+\frac{1}{x}-\frac{{e}^{x}}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（1-{e}^{x}）}{{x}^{2}}$．
因为x＞0，所以1-e^x＜0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0．
故函数g（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
所以g（x）_max=g（1）=1-e．所以a＞1-e为所求．
故a的范围是（1-e，+∞）．

点评 本题的第二问涉及到不等式恒成立前提下，求字母范围的问题，一般是先分离参数，然后转化为函数的最值问题来解．