Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₈=64
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，通过a₃=5，S₈=64可得首项和公差，计算即可；
（2）通过（1）可知S_n=n²，利用不等式的性质化简可得原命题成立只需3n²＞1在n≥1时恒成立．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
根据题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}={a}_{1}+2d=5}\\{{S}_{8}=8{a}_{1}+28d=64}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知：S_n=n²，
要证$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立，
只需证：$\frac{1}{（n-1）^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}＞\frac{2}{{n}^{2}}$，
只需证：[（n+1）²+（n-1）²]n²＞2（n²-1）²，
只需证：（n²+1）n²＞（n²-1）²，
只需证：3n²＞1，
而3n²＞1在n≥1时恒成立，且以上每步均可逆，
从而$\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{{{S_{n+1}}}}＞\frac{2}{S_n}（n≥2，n∈{N^*}）$恒成立．

点评 本题考查等差数列的简单性质，利用不等式的性质进行化简是解决本题的关键，属于中档题．