Question

8．椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，焦距为2c，若存在直线l：y=k（x+c）与椭圆的交点为M，使以F₁F₂为直径的圆经过M点，则该椭圆的离心率e的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 设M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₁F₂为直径的圆经过M点，即有MF₁⊥MF₂，由向量垂直的条件和点满足椭圆方程，解得m，n再由c²-b²≥0，结合离心率公式计算即可得到所求范围．

解答 解：设M（m，n），F₁（-c，0），F₂（c，0），
以F₁F₂为直径的圆经过M点，
即有MF₁⊥MF₂，
即$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-c-m，-n），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（c-m，-n），
则（-c-m）（c-m）+n²=0，
即m²+n²=c²，
又$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得m²=$\frac{{a}^{2}（{c}^{2}-{b}^{2}）}{{c}^{2}}$，n²=$\frac{{b}^{2}（{a}^{2}-{c}^{2}）}{{c}^{2}}$
由a＞b＞0，a²-b²=c²可得a＞c．
由题意可得m²≥0，即有c²-b²≥0，
即2c²≥a²，即有e²$≥\frac{1}{2}$，
则e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
即有$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的范围，同时考查圆的性质：直径所对的圆周角为直角，属于中档题．