Question

17．已知函数f（x）=xlnx+mx（m∈R）的图象在点（1，f（1））处的斜率为2．
（1）求实数m的值；
（2）设g（x）=$\frac{f（x）-x}{x-1}$，讨论g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导函数，由图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，得到f′（1）=1+ln1+m=2，则m值可求；
（2）求出g（x）的导数，令h（x）=x-1-lnx，再求h（x）的导数，讨论h（x）的单调性，从而得到g（x）的单调性．

解答 解：（1）由f（x）=xlnx+mx，得f′（x）=1+lnx+m，
由图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
得f′（1）=1+ln1+m=2，
解得m=1；
（2）解：g（x）=$\frac{f（x）-x}{x-1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$（x＞0，x≠1），
则g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$，
设h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数；          
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$＞0，故g（x）在（0，1）上为增函数；
故g（x）的增区间为（0，1），（1，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义和导数的综合应用：求单调区间，以及运用单调性证明不等式，考查运算能力和推理能力，属于中档题