Question

12．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12．，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列，S_n为{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使S_n＜5a_n成立的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等差数列的前n项和公式、不等式的解法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a₁+a₃+a₅=12，
∴3a₃=12，∴a₃=4．
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，
∴${a_5}^2={a_1}{a_{17}}$，
∴（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），
∵d≠0，解得d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；
∴数列{a_n}的通项公式为：∴${a_n}=n+1，n∈{N^*}$．
（Ⅱ）∵a_n=n+1，
∴${S_n}=\frac{n（n+3）}{2}$，
∴$\frac{n（n+3）}{2}≤5（n+1）$
即n²-7n-10≤0，即$\frac{{7-\sqrt{89}}}{2}≤n≤\frac{{7+\sqrt{89}}}{2}$，且n∈N⁺，
∴n=8，即n的最大值是8．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．