Question

20．已知函数$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，若函数f（x）的零点都在[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先可判断f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0；再判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递增，从而说明没有零点，从而解得．

解答 解：∵$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$，
∴f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2015}$＜0；
故$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2014}}}}{2014}+\frac{{{x^{2015}}}}{2015}$在[-1，0]上有零点；
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴，
易知f′（1）=1，
当x＞0且x≠1时，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1（1-（-x）^{2015}）}{1-（-x）}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＞0；
故f（x）在（0，+∞）上没有零点，
当x＜-1时，
f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁴=$\frac{1（1-（-x）^{2015}）}{1-（-x）}$=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上单调递增，且f（-1）＜0，
故f（x）在（-∞，-1）上没有零点；
综上所述，函数的零点都在区间[-1，0]上，
故选A．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，属于基础题．