Question

9．设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f[g（t）]的值域仍是A，那么称x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换．
（1）判断下列函数x=g（t）是不是函数y=f（x）的一个等值域变换？说明你的理由；
①f（x）=log₂x．x＞0，x=g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t＞0；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R．
（2）设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，函数g（t）的定义域为D₁，值域为A₁，那么“D=A₁”是否是“x=g（t）是y=f（x）的一个等值变换”的一个必要条件？说明理由．
（3）设f（x）=log₂x的定义域为[2，8]，已知x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$是y=f（x）的一个等值变换，且函数y=f[g（t）]的定义域为R，求实数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）运用对数函数的值域和基本不等式，结合新定义即可判断①；运用二次函数的值域和指数函数的值域，结合新定义即可判断②；
（2）由函数的定义域和值域，利用条件的不必要性的一个例子确定A的范围，确定f（g（t））的值域，最后写出x=g（t）是y=f（x）的一个等值变换的非必要条件；
（3）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t₁，t₂∈R使两个等号分别成立，求得m和n．

解答 解：（1）①f（x）=log₂x．x＞0，值域为R，
x=g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t＞0，由g（t）≥2可得y=f[g（t）]的值域为[1，+∞）．
则x=g（t）不是函数y=f（x）的一个等值域变换；
②f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，x∈R，值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），
x=g（t）=2^t，t∈R．由g（t）＞0，可得y=f[g（t）]的值域为[$\frac{3}{4}$，+∞），
则x=g（t）是函数y=f（x）的一个等值域变换；
（2）设函数y=f（x）的定义域为D，值域为A，函数g（t）的定义域为D₁，值域为A₁，
那么“D=A₁”不是“x=g（t）是y=f（x）的一个等值变换”的一个必要条件．
条件的不必要性的一个例子是．
f（x）=x²，∵D=R，A为[0，+∞），
 g（t）=2^t-1，D₁=R，A₁=（-1，+∞），
此时D?A₁，但f（g（t））=（2^t-1）²的值域仍为A=[0，+∞），
即g（t）=2^t-1，x∈R是f（x）=x²，（x∈R）的一个等值域变换．
（3）f（x）=log₂x定义域为[2，8]，由y=log₂x，知1≤y≤3，
即f（x）=log₂x的值域为[1，3]，
因为x=g（t）是y=f（x）的一个等值域变换，且函数f（g（t））的定义域为R，
所以x=g（t）=$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$，t∈R的值域为[2，8]，
则2≤$\frac{m{t}^{2}-3t+n}{{t}^{2}+1}$≤8，
∴2（t²+1）≤mt²-3t+n≤8（t²+1），
所以，恒有$\left\{\begin{array}{l}{（m-2）{t}^{2}-3t+n-2≥0}\\{（m-8）{t}^{2}-3t+n-8≤0}\end{array}\right.$，
且存在t₁，t₂∈R使两个等号分别成立，
于是$\left\{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△}_{1}=9-4（m-2）（n-2）=0}\\{{△}_{2}=9-4（m-8）（n-8）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=5-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\\{n=5+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了新定义的理解和运用，主要函数值域的问题，利用已知条件演绎推理的能力和运算能力．