Question

3．如图，三棱锥P-ABC中，E，D分别是BC，AC的中点，PB=PC=AB=4，AC=8，BC=4$\sqrt{3}$，PA=2$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PED；
（Ⅱ）求平面PED与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过勾股定理得AB⊥BC，利用中位线定理可得DE⊥BD，根据线面垂直的判定定理即得结论；
（Ⅱ）通过余弦定理易得△PDE是等边三角形，取DE中点F，过点F作BD的平行线交AB于点G，连结PF，PG，则∠FPG就是平面PED与平面PAB所成的锐二面角的平面角，在Rt△FPG中计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵AC=8，BC=4$\sqrt{3}$，AB=4，
∴由勾股定理得AB⊥BC，
又∵E、D分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，∴DE⊥BD，
又∵PB=PC=4，且D是棱BC的中点，
∴PD⊥BC，∴BC⊥平面PED；
（Ⅱ）解：在△PAC中，∵PC=4，AC=8，PA=2$\sqrt{6}$，
∴由余弦定理可得cos∠PCA=$\frac{7}{8}$，
又∵E是AC的中点，由余弦定理可求得PE=2，易得PD=DE=2，
∴△PDE是等边三角形，
取DE中点F，过点F作BD的平行线交AB于点G，连结PF，PG，
则PF⊥DE，PG⊥AB，
∵DE∥AB，设平面PED与平面PAB的交线为l，则有DE∥AB∥l，
∵PF⊥DE，GF⊥DE，
∴DE⊥平面PFG，l⊥平面PFG，
则∠FPG就是平面PED与平面PAB所成的锐二面角的平面角，
∵PF=$\sqrt{3}$，FG=BD=$2\sqrt{3}$，且PF⊥FG，
∴PG=$\sqrt{15}$，∴cos∠FPG=$\frac{PF}{PG}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故平面PED与平面PAB所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查二面角，空间中面与面的位置关系，余弦定理，注意解题方法的积累，属于中档题．