(本小题满分14分)
如图,已知椭圆过点(1,
),离心率为
,左右焦点分别为
.点
为直线
:
上且不在
轴上的任意一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线、
斜率分别为
.
(ⅰ)证明:
(ⅱ )问直线上是否存在一点
,使直线
的斜率
满足
?若存在,求出所有满足条件的点
的坐标;若不存在,说明理由.
(Ⅰ)
( Ⅱ )(ⅰ)证明见解析
(ⅱ )
满足条件的点P的坐标分别为,(
,
)。
【解析】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,直线的斜率等知识,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力以及数形结合、分类讨论数学思想,。其中问题(Ⅱ)是一个开放性的探索问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。
【答案】
(Ⅰ)解:因为椭圆过点(1,),e=
,
所以,
.
又,
所以
故所求椭圆方程为 .
(II)(1)证明:
方法一:由(1,0),
(1,0),PF1,PF2的斜率分别为
,
,且点p不在 x轴上。
所以,
有直线,
的方程分别为
,
联立方程解得
所以
由于点P在直线上
所以
因此
即,结论成立
方法二:
因为点P不在x轴上,所以
又
所以
因此结论成立---------------------------------------------------
(ⅱ)解:设,
,
,
.
联立直线与椭圆的方程得
化简得
因此
由于 的斜率存在,
所以 ,因此
因此
相似地可以得到
故
若,须有
=0或
=1.
① 当=0时,结合(ⅰ)的结论,可得
=-2,所以解得点P的坐标为(0,2);
② 当=1时,结合(ⅰ)的结论,可得
=3或
=-1(此时
=-1,不满足
≠
,舍去 ),此时直线CD的方程为
,联立方程
得
,
因此
.
综上所述,满足条件的点P的坐标分别为,(
,
)。
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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