Question

（本小题满分13分）已知四棱柱，侧棱底面，底面中，

，侧棱.

（1）若E是上一点，试确定E点位置使平面；

（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值。

 

Answer 1

（1）E点坐标为(0，0，3)即E为且靠近的四等分点时，EB∥平面;（2）.

【解析】

试题分析：（1）当E为四等分点时，即时，EB∥平面．建立空间直角坐标系，确定E点坐标，即可得出结论；

（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．

试题解析：【解析】
(1)当E为AA1四等分点时，即 时，EB∥平面.

证明：以AB为x轴，以AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，1，0)， ，

设E(0，0，z)，则 ＝(－2，0，z)， ＝(－2，－1，4)，＝(－2，3， 0)．

∵EB∥平面，不妨设 ，∴(－2，0，z)＝x(－2，－1，4)＋y(－2，3，0)．

∴解得z＝3.

所以当E点坐标为(0，0，3)即E为且靠近的四等分点时，EB∥平面.(6分)

(2)∵平面ABCD，

∴可设平面ABCD法向量为＝(0，0，1)．

设平面BED法向量为＝(x，y，1)，根据＝(－2，0，3)，＝(－2，4，0)，

∴ 解得 ．

∴ .

由题意可得，平面BED与平面ABD所成角的余弦值为.

考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．