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    若方程 
    1
    3
    x3-x2-3x=b    有3个不同实数解，则b的取值范围为
    (-9，
    5
    3
    )
    (-9，
    5
    3
    )
    ．
    分析：构造f（x）=
    1
    3
    x3-x2-3x    ，通过函数的导数求出函数的极值，然后利用三个不等实根，可得b的取值范围．
    解答：解：假设f（x）=
    1
    3
    x3-x2-3x    ，则f′（x）=x2-2x-3=（x+1）（x-3）
    ∴函数在（-∞，-1），（3，+∞）上单调增，在（-1，3）上单调减
    ∴f（-1）=
    5
    3
    为极大值，f（3）=-9为极小值
    所以即-9＜b＜
    5
    3
    时，函数f（x）=
    1
    3
    x3-x2-3x    与函数f（x）=b有三个交点，方程有3个不等实根
    故答案为：(-9，
    5
    3
    )    ．
    点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查函数与方程的联系，解题的关键是构造函数，利用导数求函数的极值．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    13
    x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
    （Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；
    （Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
    （Ⅲ）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
    （1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
    （2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)=f(x)-
    1
    3
    x3-ax2-
    3
    2
    x    在R上为减函数，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y=f（x）的导数，f''是f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    ，请你根据这一发现，求：
    （1）函数f(x)=
    1
    3
    x3-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    12
    对称中心为
    (
    1
    2
    ，1)
    (
    1
    2
    ，1)
    ；
    （2）计算f(
    1
    2011
    )+f(
    2
    2011
    )+f(
    3
    2011
    )+f(
    4
    2011
    )+…+f(
    2010
    2011
    )    =
    2010
    2010
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    3
    x3-
    a
    2
    x2-2a2x+1(a＞0)    ．
    （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
    （Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
    （Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x2-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•广东模拟）已知函数f(x)=4x+ax2-
    2
    3
    x3(x∈R)    ．
    （1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
    （2）若函数f（x）在区间[-1，1]上单调递增，求实数a的取值组成的集合A；
    （3）设关于x的方程f(x)=2x+
    1
    3
    x3    的两个非零实根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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