Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1(a＞0)．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三个不同的实根，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程；
（II）利用导数分别求出函数的极大值和极小值，要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，建立不等式组，从而求出a的取值范围；
（III）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，将x分离出来得x＞

2a2+1

1-a

，对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1-a

的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）a=1时，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+1，f′(x)=x2-x-2，f（0）=1，f'（0）=-2，
所以切线方程为y-1=-2x，即2x+y-1=0．…3
（Ⅱ）∵f'（x）=x²-ax-2a²，令x²-ax-2a²=0得x=-a或x=2a．
于是f'（x）＞0得x＜-a或x＞2a，f'（x）＜0得-a＜x＜2a．
所以x=-a时，f（x）取得极大值f(-a)=

7

6

a3+1；
x=2a时，f（x）取得极小值f(2a)=-

10

3

a3+1．…2
要使方程f（x）=0恰有三个不同的实根，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，
所以

7 6 a3+1＞0 - 10 3 a3+1＜0

，解之得a＞

3	3 10

=

3 300

10

．…2
（Ⅲ）要使f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，∴（1-a）x＜2a²+1．
∵a∈（1，+∞），
∴1-a＜0，于是x＞

2a2+1

1-a

对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于

2a2+1

1-a

的最大值．
∵

2a2+1

1-a

=-[2(a-1)+

3

a-1

+4]≤-(2

6

+4)，
当2(a-1)=

3

a-1

，即a=1+

6

2

时取等号．
故x＞(

2a2+1

1-a

)max=-(4+2

6

)．…5

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题和利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．