Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^?）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n= （n∈N^?），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n= （n∈N^*），数列{}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

Answer 1

解：（1）由题知，，
由累加法，当n≥2时，
代入a₁=1，得n≥2时，
又a₁=1，故a_n=n•3^n-1（n∈N^*）．
（2）n∈N^*时，．
方法1：当n=1时，；当n=2时，；
当n=3时，．
猜想当n≥3时，．
下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，由上可知成立；
②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即．
当n=k+1时，左边=，
所以当n=k+1时成立．
由①②可知当n≥3，n∈N^*时，．
综上所述：当n=1时，；当n=2时，；
当n≥3（n∈N^*）时，．
方法2：
记函数
所以
则
所以f（n+1）＜f（n）．
由于，此时；
，此时；
，此时；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时．
综上所述：当n=1，2时，；当n≥3（n∈N^*）时，．
（3）
当n≥2时，
所以当n≥2时，．
且故对n∈N^*，T_n＜2得证．
分析：第1问对条件式子两边同除以n，然后要用累加法可求出，从而可求出a_n．
第2问有两种方法：方法1先对n=1，2，3时对进行比较，从而猜想出一个结论，然后对这个结论用数学归纳法进行证明；
方法2把的差构造，然后利用f（n+1）-f（n）的结果正负判断出f（n）的单调性．再通过n=1，2，3时，的结果变化趋势得出最后的结论．第3问先由a_n写出c_n，然后先对的用放缩法进行适当的放大，然后采用裂项法得出一个结果，然后再对T_n的除第一项以外的每一项按此进行放缩和裂项，运算之后很容易就看出与2的大小关系，就可以得出最后的证明结论．
点评：本题第1问主要考查了用累加法求数列的通项．第2问主要考查了数学归纳证明，采用先猜想后证明的思维方式．第3问主要采用了放缩法及裂项法，难点在于放缩的把握放缩的方向和放缩的程度．总体来说第3问比较难．