Question

本题（1）（2）（3）三个选答题，每小题5分，请考生任选1题作答，如果多做，则按所做的前1题计分．
（1）（选修4-1，几何证明选讲）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=

a

2

，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=

a

2

．
（2）（选修4-4，坐标系与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为

（

2

，

3π

4

）

．
（3）（选修4-1，不等式选讲）已知函数f（x）=|x-a|．若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，则实数a的值为

a=2

．

Answer 1

分析：（1）要求EF的长，关键是关键是构造一个三角形，使EF位于该三角形，解三角形即可求解；
（2）先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=-1化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标；
（3）根据绝对值不等式的解法，我们可得f（x）≤3的解集a-3≤x≤a+3，再由已知中f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，由此可以构造一个关于a的方程，解方程组，即可得到答案．

解答：解：（1）连接DE，
∵四边形ABCD为直角梯形，AB=AD=a，CD=

a

2

，CB⊥AB，点E，F分别为线段AB，AD的中点
∴△AED为直角三角形．则EF是RT△AED斜边上的中线，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，EF=

1

2

DE=

1

2

AB=

a

2

．
故答案为：

a

2

（2）两条曲线的普通方程分别为x²+y²=2y，x=-1．
解得

x=-1 y=1.

由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得点（-1，1），极坐标为 (

2

，

3π

4

)．
故答案为：(

2

，

3π

4

)．
（3）由|x-a|≤3得a-3≤x≤a+3，
所以

a-3=-1 a+3=5

解之得a=2为所求，
故答案为：2．

点评：（1）连接DE，构造含有线段EF的直角三角形是解答本题的关键，由此可得，解决平面几何的求值和证明问题，辅助线的添加是基础．
（2）本小题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（3）本题考查的知识点是带绝对值的函数、绝对值不等式的解法．