Question

5．如果函数f（x）=sin（2x+θ），函数f（x）+f'（x）为奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，则tanθ=-2．

Answer 1

分析 求函数的导数，根据函数奇偶性的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+θ），∴f′（x）=2cos（2x+θ），
则f（x）+f'（x）=sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
∵f（x）+f'（x）为奇函数，
∴sin（-2x+θ）+2cos（-2x+θ）=-sin（2x+θ）-2cos（2x+θ），
即-sin（2x-θ）+2cos（2x-θ）=-sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
则-sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ
=-（sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ-sin2xsinθ）
=-sin2xcosθ-cos2xsinθ-2cos2xcosθ+2sin2xsinθ，
即2cos2xsinθ=-4cos2xcosθ，
即sinθ=-2cosθ，
即tanθ=-2，
故答案为：-2

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的导数公式结合三角函数奇偶性的性质是解决本题的关键．