Question

16．已知奇函数$f（x）=a-\frac{1}{{{2^x}+1}}\;，\;\;x∈（{-1\;，\;\;1}）$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足f（x-1）+f（x）＜0，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，得出f（0）=0，求出a值；
（Ⅱ）写出f（x）的解析式，根据f（x）的定义与解析式，把不等式f（x-1）+f（x）＜0化为关于x的不等式组，求出解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=a-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=a-$\frac{1}{{2}^{0}+1}$=0，
解得a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$，且x∈（-1，1），
又f（x）满足f（x-1）+f（x）＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{-1＜x-1＜1}\\{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x-1}+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{x}+1}＜0}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{{2}^{2x}＜2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴x的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了奇函数的定义与指数函数的运算问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．