Question

观察下列算式：
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
…
对任意正整数n，你能得出怎样的结论？用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：利用归纳推理以及所给式子的结构特征，得出结论1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²．
先证明n=1时，等式成立，假设n=k时，等式成立，在此基础上利用假设证明n=k+1时，等式也成立，从而得到等式对任意的n∈N^*均成立．

解答：解：（1）观察算式：
1=1²
1+3=4=2²
1+3+5=9=3²
1+3+5+7=16=4²
1+3+5+7+9=25=5²
…
可得1+3+5+…+（2n-1）=n²．
证明：①n=1时，左式=右式=1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²，
则当n=k+1时，
1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+2k+1=（k+1）²
这就是说n=k+1时，等式成立．
根据①，②，等式对任意的n∈N^*均成立．

点评：本题主要考查归纳推理，用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，式子的变形是解题的关键．