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已知:函数f(x)=
2x+3
3x
,数列{an}对n≥2,n∈N总有an=f(
1
an-1
),a1=1

(1)求{an}的通项公式.
(2)求和:Sn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1
(3)若数列{bn}满足:①{bn}为{
1
an
}
的子数列(即{bn}中的每一项都是{
1
an
}
的项,且按在{
1
an
}
中的顺序排列)②{bn}为无穷等比数列,它的各项和为
1
2
.这样的数列是否存在?若存在,求出所有符合条件的数列{bn},写出它的通项公式,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
分析:(1)直接根据已知条件整理得到数列的递推关系式,进而得到数列的规律,即可求出{an}的通项公式.
(2)分n为偶数和n为奇数分别求和,最后再合并即可得到结论;
(3)先设b1=
3
2k+1
,公比q=
1
m
>0
,得到b1qn=
3
2k+1
1
mn
=
3
2p+1
(k,p∈N*)对任意的n∈N*均成立,故m是正奇数,又S存在,所以m>1;再对m的取值进行讨论,即可得到所有符合条件的数列{bn},写出它的通项公式.
解答:解:(1)由f(x)=
2x+3
3x
,又an=f(
1
an-1
)=
2
an-1
+3
3
an-1
=
2+3an-1
3
=an-1+
2
3
(2分)
所以,{an}是以a1=1为首项,
2
3
为公差的等差数列,即an=
2n+1
3
(n∈N*)(4分)
(2)当n为偶数,an-1an-anan+1=an(an-1-an+1)=-2dan=-
4
3
an

所以 Sn=-
4
3
(a2+a4+…an)=-
4
3
a2+an
2
n
2
=-
2
9
n2-
2
3
n
(6分)
当n为奇数,则n-1为偶数,Sn=Sn-1+anan+1=-
2
9
(n-1)2-
2
3
(n-1)+
2n+1
3
2n+3
3
=
2n2+6n+7
9
(8分)
综上:Sn=
-
2
9
n2-
2
3
nn为偶数
2n2+6n+7
9
n为奇数
(10分)
(3)设b1=
3
2k+1
,公比q=
1
m
>0
,则b1qn=
3
2k+1
1
mn
=
3
2p+1
(k,p∈N*)对任意的n∈N*均成立,故m是正奇数,又S存在,所以m>1(12分)
当m=3时,S=
1
2
,此时b1=
3
9
bn=
3
3n+1
,成立                 (13分)
当m=5时,S=
1
2
,此时b1=
2
5
∉{
1
an
}
故不成立                   (14分)
m=7时,S=
1
2
,此时b1=
3
7
bn=
3
7n
,成立                    (15分)
当m≥9时,1-
1
m
8
9
,由S=
1
2
,得b1
4
9
,设b1=
3
2k+1
,则k≤
23
8
,又因为k∈N*,所以k=1,2,此时b1=1或b1=
3
5
分别代入S=
b1
1-q
=
1
2
,得到q<0不合题意(18分)
由此,满足条件(3)的{bn}只有两个,即bn=
3
3n+1
bn=
3
7n
(20分)
点评:本题是对数列知识的综合考查.其中涉及到数列的递推式,以及数列的求和,属于综合性题目,考查计算能力以及分析能力.
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