Question

已知直线L：2mx-y-8m-3=0和圆C：x²+y²-6x+12y+20=0相交于A、B两点，当直线AB最短时，直线L的方程为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可．

解答： 解：将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
由

x-4=0 y+3=0

得

x=4 y=-3

，即直线L恒过A（4，-3），
将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜5=r，
∴点A在圆内，
则L与C总相交；
若线段AB最短，
则满足CA⊥L，
∵直径AC所在直线方程的斜率为

-3+6

4-3

=3，
∴此时l的斜率为-

1

3

，
则直线方程为y+3=-

1

3

（x-4），
即x+3y+5=0，
故答案为：x+3y+5=0

点评：本题主要考查直线与圆相交的性质，考查恒过定点的直线方程，圆的标准方程的应用，要求熟练掌握直线和圆相交的性质．