Question

已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=

2

，A为PB边上一点，且DA⊥PB，将△PAD沿AD折起，使PA⊥AB．
（1）求证：CD∥面PAB；
（2）求证：CB⊥面PAC．

Answer 1

分析：（1）由已知中四边形PDCB为梯形，根据梯形的定义可得CD∥AB，结合对折后，CD?面PAB，且AB?面PAB，由线面平行的判断定理可得CD∥面PAB；
（2）由对折前DA⊥PB，可得PA⊥AD，结合对折后PA⊥AB，及线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABD，进而BC⊥PA，再由勾股定理，证出BC⊥AC后，由线面垂直的判定定理可得CB⊥面PAC

解答：证明：（1）∵四边形PDCB为梯形
∴CD∥AB
由于对折后CD?面PAB，且AB?面PAB
∴CD∥面PAB；
（2）在等腰梯形PDCB中，
∵PB=3，DC=1，PD=

2

，
∴AC=BC=

2

，AB=2
由勾股定理可得BC⊥AC
又∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABD
又∵BC?平面ABD
∴BC⊥PA，
又PA∩AC=A，
∴CB⊥面PAC

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得CD∥AB，（2）的关键是证得BC⊥PA，及BC⊥AC．