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精英家教网已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=2a=|
QP
|+|
QP′
|=
(
5
2
-2)
2
+(
3
2
)
2
+
(
5
2
+2)
2
+(
3
2
)
2
=2
10
,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2)
(I)证明:平面PAD⊥PCD;
(II)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VMACB=2:1;
(III)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.
分析:(I)由已知中CD⊥AD及面PAD⊥面ABCD,我们根据面面垂直的性质定理得到CD⊥平面PAD,再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥PCD;
(II)根据(I)的结论,平面PAB⊥平面ABCD,在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,利用体积公式,分别计算VPDCMA,VMACB,再根据VPDCMA:VMACB=2:1,即可求出满足条件的M为PB的中点;
(III)以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,建立如如图所示的空间直角坐标系,求出相关顶点的坐标,进而求出直线AM的方向向量及平面PCD的法向量,判定两个向量是否垂直,即可判断直线AM是否平行面PCD.
解答:解:(I)证明:依题意知:CD⊥AD.又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD.(2分)
∴平面PAD⊥PCD;
(II)由(I)知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.(4分)
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
VM-ABC=
1
3
S△ABC•h=
1
3
×
1
2
×2×1×h=
h
3
VP-ABCD=
1
3
S△ABC•PA=
1
3
×
(1+2)
2
×1×1=
1
2
(6分)
要使VPDCMAVMACB=2:1,即(
1
2
-
h
3
):
h
3
=2:1,解得h=
1
2

即M为PB的中点;
精英家教网(III)以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,
建立如如图所示的空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(0,2,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),
P(0,0,1),M(0,1,
1
2

由(I)知平面PAD⊥平面PCD,作AQ⊥PD,则AQ⊥平面PDC,则
AQ
为平面PCD
的法向量.(10分)
又∵△PAD为等腰Rt△∴Q为PD的中点,即Q(
1
2
,0,
1
2
)

因为
AQ
AM
=(
1
2
,0,
1
2
)(0,1,
1
2
)=
1
4
≠0,所以
AQ
不垂直
AM

所以AM与平面PCD不平行.(13分)
点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,熟练掌握空间直线、平面间平行与垂直的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答此类问题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=
2
,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).
(1)证明:平面PAD⊥平面PCD;
(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VMABC=2:1.
(3)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=
2
,A为PB边上一点,且DA⊥PB,将△PAD沿AD折起,使PA⊥AB.
(1)求证:CD∥面PAB;
(2)求证:CB⊥面PAC.

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(2008•盐城一模)已知等腰梯形PDCB中,PB=3,DC=1,PD=BC=
2
,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面PAD⊥平面PCD;
(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VP-DCMA:VM-ACB=2:1.

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科目:高中数学 来源: 题型:

 

(09年莱西一中模拟理)(12分)

已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=APB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面

PADABCD(如图2)。

   (Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;

   (Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分

   (Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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