Question

19．平面内有点A（2，0），C（cosα，sinα），其中α∈（0，π），点O为坐标原点，且|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$．
（1）求α的值；
（2）求向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角．

Answer 1

分析 （1）由已知求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$的坐标，再由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$求得cosα，进一步得到α的值；
（2）由（1）求得C的坐标，得到$\overrightarrow{AC}$的坐标，求出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{AC}$及|$\overrightarrow{OA}$|与|$\overrightarrow{AC}$|，代入数量积求夹角公式可得向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角．

解答 解：（1）由题意$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=（2+cosα，sinα），
则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{（2+cosα）^{2}+si{n}^{2}α}=\sqrt{7}$，
解得：cos$α=\frac{1}{2}$．
又α∈（0，π），∴$α=\frac{π}{3}$；
（2）由（1）知，C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴$\overrightarrow{AC}=（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，则$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}$．
∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{-3}{2×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
又＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AC}$＞∈（0，π），
∴向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求夹角公式，是中档题．