Question

【题目】已知F1 ， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A.
B.
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1 ， （a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1 ， |PF2|=r2 ， |F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1 ， e2
∵∠F1PF2= ，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos ，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2 ，
即 ，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2 ，
即 ，③
联立②③得， =4，
由柯西不等式得（1+ ）（ ）≥（1× + ）2 ，
即（ ） =
即 ，d当且仅当 时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1 ， 双曲线的实半轴为a2 ， （a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1 ， |PF2|=r2 ， |F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1 ， e2
∵∠F1PF2= ，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos =（r1）2+（r2）2﹣r1r2 ，
由 ，得 ，
∴ = ，
令m= = = ，
当 时，m ，
∴ ，
即 的最大值为 ，
法3：设PF1|=m，|PF2|=n，则 ，
则a1+a2=m，
则 = ，
由正弦定理得 = ，
即 = sin（120°﹣θ）≤ =
故选：A
根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．