Question

【题目】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】证明：（I）连接OA，OC，

∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由题设知 ，AC=2，
∴AO2+CO2=AC2 ，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，

知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中， ，
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴ ，
∴ ，
∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为h．

在△ACD中， ，
∴ = ，
∵AO=1， ，
∴ = = ，
∴点E到平面ACD的距离为 ．
【解析】（I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知 ，AC=2，故AO2+CO2=AC2 ， 由此能够证明AO⊥平面BCD．（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中， ，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中， ，故 = ，由AO=1，知 ，由此能求出点E到平面ACD的距离．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．