Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 且F1 ， F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，点P（ ， ）在椭圆C上．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过F2作互相垂直的两直线AB，CD分别交椭圆于点A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点，求△MNF2面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆 =1（a＞b＞0）经过点P（ ， ），
且F1 ， F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
∴ ，解得a2=2，b2=1，
∴椭圆方程为 ；
（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，
则直线CD的方程为x=﹣ y+1，
联立 ，消去x得（m2+2）y2+2my﹣1=0，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1+y2=﹣ ，y1y2= ，
∴x1+x2=（my1+1）+（my2+1）
=m（y1+y2）+2= ，
由中点坐标公式得M（ ），
将M的坐标中的m用﹣ 代换，得CD的中点N（ ），
kMN= ，
直线MN的方程为y+ = （x﹣ ），
即为y= ，
令 ，可得x= ，即有y=0，
则直线MN过定点H，且为H（ ，0），
∴△F2MN面积为S= |F2H||yM﹣yN|
= （1﹣ ）| |= | |= | |，
令m+ =t（t≥2），由于2t+ 的导数为2﹣ ，且大于0，即有在[2，+∞）递增．
即有S= = 在[2，+∞）递减，
∴当t=2，即m=1时，S取得最大值，为 ；
则△MNF2面积的最大值为
【解析】（Ⅰ）由已知得到关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=﹣ y+1，分别代入椭圆方程，由于韦达定理和中点坐标公式可得中点M，N的坐标，求得斜率和直线方程，即可得到定点H，则△MNF2面积为S= |F2H||yM﹣yN|，化简整理，再令m+ =t（t≥2），由于函数的单调性，即可得到最大值．