Question

设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若函数f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的图象是一条与x轴重合的直线，则β-α=

2π

3

．

Answer 1

分析：通过函数f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的图象是一条与x轴重合的直线，令x=0与x=

π

2

，列出关系式，利用两角差的余弦函数，求出β-α的值．

解答：解：因为函数f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的图象是一条与x轴重合的直线，
所以令x=

π

2

，函数f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）化为 cosα+cosβ+cosγ=0，
令x=0所以 sinα+sinβ+sinγ=0
所以cosβ+cosα=-cosγ
sinβ+sinα=-sinγ
平方  cos²α+cos²β+2cosαcosβ=cos²γ
     sin²β+sin²α+2sinβsinα=sin²γ
所以 2+2sinβsinα+2cosαcosβ=1
所以 cosαcosβ+sinβsinα=-

1

2

，
所以cos（β-α）=-

1

2

．
因为0＜α＜β＜γ＜2π所以  0＜β-α＜2π
所以 β-α=

2π

3

．
故答案为：

2π

3

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．