Question

10．已知cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，$\frac{3π}{2}$＜α+β＜2π，求β的值．

Answer 1

分析 根据已知结合同角三角函数的基本关系公式，可得sin（α-β）=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，利用两角差的余弦公式可得cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=-1，进而可得答案．

解答 解：∵cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，$\frac{π}{2}$＜α-β＜π，
∴sin（α-β）=$\frac{3}{5}$，
又∵sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，$\frac{3π}{2}$＜α+β＜2π，
∴cos（α+β）=$\frac{4}{5}$，
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）•sin（α-β）=-1，
由-π＜β-α＜-$\frac{π}{2}$得：$\frac{π}{2}$＜（β-α）+（β+α）=2β＜$\frac{3π}{2}$，
则2β=π，
∴β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查的知识点是同角三角函数的基本关系公式，两角差的余弦公式，难度中档．