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已知在f(x)=(x+1)n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.
(1)求n;
(2)求f(96)被10除所得的余数.
分析:(1)利用二项式系数的性质可知第6项为展开式的中间项,从而可知n的值;
(2)由于f(96)=(96+1)10=(100-3)10,利用二项式定理可知,f(96)被10除得的余数与310除得的余数相同,从而可求答案.
解答:解:(1)∵f(x)=(x+1)n的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,
n
2
+1=6,
∴n=10…(4分)
(2)∵f(96)=(96+1)10=9710=(100-3)10
=
C
0
10
×10010-
C
1
10
×1009×3+
C
2
10
×1008×32-…-
C
9
10
×100×39+
C
10
10
•310
∴f(96)被10除得的余数与310除得的余数相同…(10分)
又310=95=(10-1)5=
C
0
5
×105-
C
1
5
×104+
C
2
5
×103-
C
3
5
×102+
C
4
5
×101-
C
5
5

∴310被10除得的余数为9,
∴f(96)被10除得的余数为9…(14分)
点评:本题考查二项式定理的应用,考查二项式系数的性质,突出考查整除问题,得到f(96)被10除得的余数与310除得的余数相同是关键,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设g(x)=2x+
1
x
,x∈[
1
4
,4].
(1)求g(x)的单调区间;(简单说明理由,不必严格证明)
(2)证明g(x)的最小值为g(
2
2
);
(3)设已知函数f(x)(x∈[a,b]),定义:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b].其中,min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值.例如:f(x)=sinx,x∈[-
π
2
π
2
],则f1(x)=-1,x∈[-
π
2
π
2
],f2(x)=sinx,x∈[-
π
2
π
2
],设φ(x)=
g(x)+g(2x)
2
+
|g(x)-g(2x)|
2
,不等式p≤φ1(x)-φ2(x)≤m恒成立,求p、m的取值范围.

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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<
π2
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(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的增区间;
(3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.

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(1)设p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在(1,4)上有零点,求实数k的取值范围;
(2)设函数q(x)=
g(x)x≥0
f(x)x<0
是否存在实数k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q(x2)=q(x1)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)已知函数f(x)在[a,b]上连续,定义
f1(x)=f(t)min,x∈[a,b],a≤t≤x
f2(x)=f(t)max,x∈[a,b],a≤t≤x
;其中f(x)min(x∈D)表示f(x)在D上的最小值,f(x)max(x∈D)表示f(x)在D上的最大值.若存在最小正整数k使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)对任意的x∈[a,b]成立,则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”.有下列命题:
①若f(x)=cosx,x∈[0,π],则f1(x)=1,x∈[0,π];
②若f(x)=2x,x∈[-1,4],则f2(x)=2x,x∈[-1,4]
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④f(x)=x2为[1,4]上的5阶收缩函数.
其中你认为正确的所有命题的序号为
②③④
②③④

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已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,
(1)若不等式f(x)>4的解集为{x|x<-3或x>1},求F(x)的表达式;
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(3)设m•n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?

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