Question

设g（x）=2x+

1

x

，x∈[

1

4

，4]．
（1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
（2）证明g（x）的最小值为g（

2

2

）；
（3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，则f₁（x）=-1，x∈[-

π

2

，

π

2

]，f₂（x）=sinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，设φ（x）=

g(x)+g(2x)

2

+

|g(x)-g(2x)|

2

，不等式p≤φ₁（x）-φ₂（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据y=ax+

b

x

（a＞0，b＞0，x＜0）单调性及奇函数在对称区间单调性相同即可求得g（x）的单调区间；
（2）利用（1）问g（x）的单调性可证明；
（3）先求定义域x∈[

1

4

，2]．由定义求出φ（x），φ₁（x），φ₂（x），进而表示出φ₁（x）-φ₂（x），由题设条件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值及φ₁（x）-φ₂（x）的最大值问题即可解决．

解答：解：（1）∵g（x）=2x+

1

x

为奇函数．奇函数在对称区间单调性相同，
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上递减，g（x）在x∈[

2

2

，4]上递增；
（2）用最值的定义证明：
g（x）在x∈[

1

4

，

2

2

]上递减，
对任意x∈[

1

4

，

2

2

]，都有g（

1

4

）≥g（x）≥g（

2

2

）；
g（x）在x∈[

2

2

，4]上递增，对任意x∈[

2

2

，4]，都有g（4）≥g（x）≥g（

2

2

）．
综上，g（x）的最小值为g（

2

2

）．
（3）先求定义域x∈[

1

4

，2]．
φ（x）=

g(x)+g(2x)

2

+

|g(x)-g(2x)|

2

=

g(x)，x∈[ 1 4 ， 1 2 ) g(2x)，x∈[ 1 2 ，2]

，
φ₁（x）=

3，x∈[ 1 2 ，2] 2x+ 1 x ，x∈[ 1 4 ， 1 2 )

，）=

9 2 ，x∈[ 1 4 ，1) 4x+ 1 2x ，x∈[1，2]

，
φ₁（x）-φ₂（x）=

2x+ 1 x - 9 2 ，x∈[ 1 4 ， 1 2 ) - 3 2 ，x∈[ 1 2 ，1) 3-4x- 1 2x ，x∈[1，2]

，
由题设条件可得φ₁（x）-φ₂（x）的最小值为-5.25．
φ₁（x）-φ₂（x的最大值为0，
∴p≤-5.25，m≥0．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查不等式恒成立问题，考查学生分析问题解决问题的能力．