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设f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+4x.
(Ⅰ)求f(x)的解析式,并解不等式f(x)≥x;
(Ⅱ)设g(x)=2x-1+m,若对任意x1∈[-1,4],总存在x2∈[2,5],使f(x1)=g(x2),求实数m的取值范围.
分析:(Ⅰ)根据函数奇偶性的性质即可求f(x)的解析式,并解不等式f(x)≥x;
(Ⅱ)根据指数函数的图象和性质,结合方程根与函数之间的关系,建立条件关系,即可求实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)当x=0时,f(x)=0;
当x<0时,有-x>0,
由f(x)=-f(-x)=-[-(-x)2+4(-x)]=x2+4x.
∴f(x)的解析式为f(x)=
-x2+4x,x≥0
x2+4x, x<0.

当x≥0时,f(x)≥x为-x2+4x≥x,解得0≤x≤3;
当x<0时,f(x)≥x为x2+4x≥x,解得x≤-3.
故不等式f(x)≥x的解集是{x|x≤-3或0≤x≤3}.
(Ⅱ)当-1≤x<0时,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4,
知f(x)∈[-3,0);
当0≤x≤4时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,
知f(x)∈[0,4],
∴当x1∈[-1,4]时,f(x1)∈[-3,4].
∵g(x)=2x-1+m是R上的增函数,
∴当x2∈[2,5]时,g(x2)∈[2+m,16+m],
∵对任意x1∈[-1,4],总存在x2∈[2,5]使f(x1)=g(x2),
∴[-3,4]⊆[2+m,16+m],
2+m≤-3
16+m≥4
,解得-12≤m≤-5,
故实数m的取值范围是[-12,-5].
点评:本题主要考查函数奇偶性的应用,以及函数与方程之间的关系,利用函数的奇偶性将变量进行转化是解决本题的关键.
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1
2
x
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4
a
+
1
b
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-9
-9

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g
(x+2)
a
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(
34
,2)
(
34
,2)

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12
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2
2

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3
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3
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