Question

已知函数f(x)=log

1

2

x与函数g（x）的图象关于y=x对称，
（1）若g（a）g（b）=2，且a＜0，b＜0，则

4

a

+

1

b

的最大值为

-9

（2）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=g（x）-1，若关于x的方程f（x）-lo

g

(x+2) a

=0（a＞1）在区间（-2，6]内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是

(

3	4

，2)

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由反函数的定义以及对数函数、指数函数的性质可得g（x）=（

1

2

）^x=2^-x，进而结合题意可得2^-（a+b）=2，即a+b=-1，对

4

a

+

1

b

变形可得其等于-[5+

4b

a

+

a

b

]，由基本不等式的性质可得

4b

a

+

a

b

≥4，代入

4

a

+

1

b

=-[5+

4b

a

+

a

b

]可得其最大值，即可得答案．
（2）根据题意，分析可得函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a^x+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）根据题意，g（x）=（

1

2

）^x=2^-x，
若g（a）g（b）=2，则有2^-（a+b）=2，即a+b=-1，
则

4

a

+

1

b

=-[（-a）+（-b）][

4

-a

+

1

-b

]=-[5+

4b

a

+

a

b

]，
又由a＜0，b＜0，则

4b

a

＞0且

a

b

＞0，故

4b

a

+

a

b

≥4，
则

4

a

+

1

b

=-[5+

4b

a

+

a

b

]≤-9，
即

4

a

+

1

b

的最大值为-9；
（2）对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=-log_a（x+2）在区间（-2，6]上有三个不同的交点，
又f（-2）=f（2）=3，分析可得有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：

3	4

＜a＜2，
则a的取值范围是（

3	4

，2）
故答案为（1）：-9；（

3	4

，2）．

点评：本题考查指数函数与对数函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，（1）的关键是根据题意，求出g（x）的解析式，其次要注意题意中a＜0，b＜0的条件，要配凑基本不等式成立的条件．