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(本小题满分13分)某企业的产品以往专销欧美市场,在全球金融风暴的影响下,欧美市场的销量受到严重影响,该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场,并基本形成了市场规模;自2009年9月以来的第n个月(2009年9月为第一个月)产品的内销量、出口量和销售总量(销售总量=内销量与出口量的和)分别为bn、cn和an(单位:万件),依据销售统计数据发现形成如下营销趋势:bn + 1 =" a" an,cn + 1 =" an" + b an2 (其中a、b为常数),已知a1 = 1万件,a2 = 1.5万件,a3 = 1.875万件.
(1)求a,b的值,并写出an + 1与an满足的关系式;
(2)试用你所学的数学知识论证销售总量逐月递增且控制在2万件内;
(3)试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式.
(1)an + 1 =" 2an" –an2 (n∈N*)
(2)略(3)an =" 2" – 2
(1)依题意:an + 1 =" bn" + 1 + cn + 1 =" a" an + an + b an2,
则a2 =" a" a1 + a1 + b a12   ∴a + 1 + b =            ①
则a3 =" a" a2 + a2 + b a22  ∴       ②
解①②得a = 1,b = – 从而an + 1 =" 2an" –an2 (n∈N*)    ………………………5分
(2)证法(Ⅰ)由于an + 1 =" 2an" –an2 = – (an – 2)2 + 2≤2.         
但an + 1≠2,否则可推得a 1=" a" 2= 2与a 1= 1,a2 = 1.5矛盾.故an + 1<2 于是an<2
又an + 1– an= –an2 + 2an – an = –an (an – 2) >0,
所以an + 1>an 从而an<an + 1<2             …………………………………9分
证法(Ⅱ)由数学归纳法
(i)当n = 1时,a1 = 1,a2 = 1.5,显然a1<a2<2成立
(ii)假设n = k时,  ak<ak + 1<2成立.
由于函数f (x) = –x2 + 2x = –(x – 2)2 + 2在[0,2]上为增函数,
则f (ak) <f (ak + 1) <f (2)即ak (4 – ak) <ak + 1(4 –ak + 1) <×2×(4 – 2)
即 ak + 1<ak + 2<2成立. 综上可得n∈N*有an<an + 1<2 …………………………9分
(3)由an + 1 =" 2an" –an2得2 (an + 1– 2) =" –" (an – 2)2 即(2 – an + 1) = (2 – an)2
又由(2)an<an + 1<2可知2 – an + 1>0,2 – an>0  
则lg (2 – an + 1) =" 2" lg (2 – an) – lg 2  ∴lg (2 – an +1) – lg2 =" 2[lg" (2 – an) – lg2]
即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列,公比为2,首项为lg (2 – a1) – lg 2 =" –lg" 2
故lg (2 – an) – lg 2 =" (–lg" 2)·2n – 1 ∴an =" 2" – 2 (n∈N*)为所求………13分
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(Ⅱ)若,求数列的前2m项和公式;
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