Question

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

（1）求证：E、F、G、H四点共面；

（2）求证：BD∥平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有=（+++）.

 

Answer 1

【答案】

证明 见解析。

【解析】   

试题分析：证明  （1）连接BG，则

=+

=+（+）

= ++=+，

由共面向量定理的推论知：

E、F、G、H四点共面.

（2）因为=-  

=-=（-）=，

所以EH∥BD.

又EH平面EFGH，

BD平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由（2）知=，

同理=，

所以=，即EH   FG，

所以四边形EFGH是平行四边形.

所以EG，FH交于一点M且被M平分.

故=（+）=+

=[（+）]+[（+）]

=（+++）. 

考点：本题主要考查共线向量与共面向量，向量的应用。

点评：用向量语言表述线面的垂直、平行关系，考查运算能力，是中档题。