Question

已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）证明E，F，G，H四点共面；
（2）证明BD∥平面EFGH．

Answer 1

分析：（1）由向量加法法则得

BG

=

1

2

（

BC

+

BD

），从而得到

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

（

BC

+

BD

），结合F是BC中点、EH是△ABD的中位线，可得

EG

=

EF

+

EH

，从而得到得

EG

、

EF

、

EH

是共面的向量，由此可得E、F、G、H四点共面；
（2）根据向量加法的三角形法则，结合三角形中位线定理得到

BD

=2

EG

+2

GH

，从而向量

BD

与

EG

，

GH

共面．再由BD是平面EFGH的殊一条直线，可得BD∥平面EFGH．

解答：解：如图，连结EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中线，可得

BG

=

1

2

（

BC

+

BD

）
∴

EG

=

EB

+

BG

=

EB

+

1

2

（

BC

+

BD

）
∵

BF

=

1

2

BC

，

EH

=

1

2

BD

∴

EG

=

EB

+

BF

+

EH

=

EF

+

EH

，
根据向量共面的充要条件，得
可得E，F，G，H四点共面．
（2）∵

EH

=

EA

+

AH

，

EH

=

EG

+

GH

∴

BD

=

BA

+

AD

=2

EA

+2

AH

=2

EH

=2（

EG

+

GH

）=2

EG

+2

GH

，
结合

EG

，

GH

不共线，可得

BD

与

EG

，

GH

共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．

点评：本题采用向量的线性运算的方法证明四点共面和线面平行．着重考查了三角形中位线定理、向量的加减法法则等知识，考查了向量共面与线面平行的关系，属于中档题．