Question

设函数f（x）=

ex-1

x

，x≠0．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

Answer 1

（1）f′（x）=

xex-(ex-1)

x2

=

(x-1)ex+1

x2

，-----------------（2分）
令h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=e^x+e^x（x-1）=xe^x，
当x＞0时，h′（x）=xe^x＞0，∴h（x）是上的增函数，
∴h（x）＞h（0）=0
故f′（x）=

h(x)

x2

＞0，即函数f（x）是（0，+∞）上的增函数．-----------------（6分）
（2）|f（x）-1|=|

ex-x-1

x

|，
当x＞0时，令g（x）=e^x-x-1，则g′（x）=e^x-1＞0-----------------（8分）
故g（x）＞g（0）=0，∴|f（x）-1|=

ex-x-1

x

，
原不等式化为

ex-x-1

x

＜a，即e^x-（1+a）x-1＜0，-----------------（10分）
令∅（x）=e^x-（1+a）x-1，则∅′（x）=e^x-（1+a），
由∅（x）=0得：e^x=1+a，解得x=ln（1+a），
当0＜x＜ln（1+a）时，∅′（x）＜0；当x＞ln（1+a）时，∅′（x）＞0．
故当x=ln（1+a）时，∅（x）取最小值∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a），-----------------（12分）
令s（a）=

a

1+a

-ln（1+a），a＞0则s′（a）=

1

(1+a)2

-

1

1+a

=-

a

(1+a)2

＜0．
故s（a）＜a（0）=0，即∅[ln（1+a）]=a-（1+a）ln（1+a）＜0．
因此，存在正数x=ln（1+a），使原不等式成立．----------------（14分）