Question

（2012•珠海一模）矩形ABCD中，2AB=AD，E是AD中点，沿BE将△ABE折起到△A′BE的位置，使A′C=A′D，F、G分别是BE、CD中点．
（1）求直线A′F与直线CD所成角的大小；
（2）求直线A′E与平面AFG所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由F、G分别是BE、CD中点得到FG⊥CD，再由A′C=A′D得到A′G⊥CD，由线面垂直的判定得到CD⊥面A^′GF，最后由线面垂直的性质得到直线A′F与直线CD所成角的大小；
（2）在（1）的基础上，结合A^′F⊥BE可得A′F⊥面ABCD，从而说明∠A^′EF为A′E与平面AFG所成角，由已知条件可得该角为

π

4

，正切值可求．

解答：解：（1）如图，矩形ABCD中，∵F、G分别是BE、CD中点，
∴FG∥BC，FG⊥CD．
∵A′C=A′D，∴A′G⊥CD．
∵FG?平面A^′GF，A^′G?平面A^′GF，FG∩A^′G=G，
∴CD⊥平面A′GF．
又A^′F?平面A^′GF，
∴CD⊥A^′F．
∴A'F与CD所成角为90度；
（2）∵CD⊥A′F，
设A′E=AE=AB=A′B=a，
∴A′F⊥EB．
∵CD和BE不平行，∴A′F⊥平面BCDE．
则∠A^′EF为A′E与平面AFG所成角．
∵∠A′EF=∠AEF=

π

4

，
∴tan∠A′EF=tan

π

4

=1．
所以直线A′E与平面AFG所成角的正切值等于1．

点评：本题考查了异面直线及其夹角，考查了线面角，考查了学生的空间想象和思维能力，解答此题的关键是掌握折叠问题中的变量和不变量，属中档题．