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对于函数f(x)=a-
2•2x2x+1
(a∈R).
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性并证明;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得f(x)为奇函数,并证明你的结论.
分析:(Ⅰ)用函数单调性的定义判断并证明:任取x1<x2,通过作差比较f(x1)与f(x2)的大小关系,若f(x1)>f(x2),则为减函数,若f(x1)<f(x2),则为增函数;
(Ⅱ)先判断函数的定义域是否关于原点对称,利用奇函数的定义求解证明即可;
解答:解:(Ⅰ)f(x)在R上单调递减,
证明如下:任取x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
2•2x2
2x2+1
-
2•2x1
2x1+1
=
2(2x2-2x1)
(2x2+1)(2x1+1)

∵x1<x2,∴0<2x12x2,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).
故f(x)在R上单调递减.
(Ⅱ)解:存在a=1时,f(x)为奇函数.
证明如下:f(x)=1-
2•2x
2x+1
=
1-2x
2x+1

定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=
1-2-x
2-x+1
=
2x-1
2x+1
=-f(x),
故存在a=1时,f(x)为奇函数.
点评:本题考查函数单调性、奇偶性的判定及其证明,涉及有关函数的奇偶性、单调性的证明问题,常常运用它们定义进行解决,解题时注意函数定义域的求解.属于高考常考题.
练习册系列答案
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对于函数f(x)=a-
22x+1
(a∈R)
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(2)探索函数f(x)的单调性,并写出探索过程;
(3)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数?若存在求出a的值,不存在请说明理由.

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(1)探索函数f(x)的单调性
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数,若存在,求出a的取值;若不存在,说明理由?

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