Question

对于函数f（x）=a-

2•2x

2x+1

（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并证明；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）为奇函数，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用函数单调性的定义判断并证明：任取x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，若f（x₁）＞f（x₂），则为减函数，若f（x₁）＜f（x₂），则为增函数；
（Ⅱ）先判断函数的定义域是否关于原点对称，利用奇函数的定义求解证明即可；

解答：解：（Ⅰ）f（x）在R上单调递减，
证明如下：任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

2•2x2

2x2+1

-

2•2x1

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上单调递减．
（Ⅱ）解：存在a=1时，f（x）为奇函数．
证明如下：f（x）=1-

2•2x

2x+1

=

1-2x

2x+1

定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）=

1-2-x

2-x+1

=

2x-1

2x+1

=-f（x），
故存在a=1时，f（x）为奇函数．

点评：本题考查函数单调性、奇偶性的判定及其证明，涉及有关函数的奇偶性、单调性的证明问题，常常运用它们定义进行解决，解题时注意函数定义域的求解．属于高考常考题．