Question

对于函数f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数 x₀，使f（ x₀）=x₀成立，则称 x₀为f（x）的不动点
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下判断直线L：y=ax+1与圆（x-2）²+（y+2）²=4 a²+4的位置关系．

Answer 1

分析：（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x²-x-4，设x为其不动点，即2x²-x-4=x解之即可求出所求；
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0，关于x的方程有相异实根，则 b²-4a（b-2）＞0，对所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立，根据判别式即可求出a的范围；
（3）由圆的方程得圆心M（2，-2），求出半径和M到直线y=ax+1的距离d，比较d与r的大小，讨论a的范围可得直线与圆的位置关系．

解答：解：（1）f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），
当a=2，b=-2时，f（x）=2 x²-x-4，
设x为其不动点，即2 x²-x-4=x
则2 x²-2x-4=0，解得 x₁=-1，x₂=2
即f（x）的不动点为-1，2…..（4分）
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0
关于x的方程有相异实根，则 b²-4a（b-2）＞0，即 b²-4ab+8a＞0
又对所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立
故有（4a）²-4•8a＜0，得0＜a＜2…．（10分）
（3）由圆的方程得圆心M（2，-2），半径r=2

a2+1

M到直线y=ax+1的距离d=

|2a+3|

1+a2

比较d与r的大小：r-d=2

a2+1

-

2a+3

a2+1

=

2a2-2a-1

a2+1

=

2(a- 1 2 )2- 3 2

a2+1

…..（9分）
当a∈(0，

1+ 3

2

)时，r＜d，直线与圆相离；
当a=

1+ 3

2

时，r=d，直线与圆相切；
当a∈(

1+ 3

2

，2)时，r＞d，直线与圆相交（16分）．

点评：本题互异考查了新定义，以及恒成立问题和直线与圆的位置关系的判定，属于中档题．